Integral de Linea II

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:

${\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} ,}$

entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$

con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}$

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.
Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo. Cabe destacar que si tenemos un campo arbitrario; tal que, las derivadas parciales iteradas sean iguales y además sea convexo; entonces este campo es el gradiente de una función potencial φ. Y por lo mencionado anteriormente la integral de línea del campo es independiente del camino.

Integración compleja

Dada una curva en el plano complejo ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {C} }$ descrita por una parametrización

${\displaystyle \gamma :[a,b]\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C} ,\gamma (t)=X(t)+iY(t)}$

y una función compleja

${\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,f(z)=u(z)+iv(z)}$

con u, v funciones reales y continuas en Γ. Supongamos que la derivada de la función γ existe, es continua y no nula dentro del intervalo [a,b].

La integral de línea de f sobre Γ se define como 1 ${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f{\Big (}\gamma (t){\Big )}\cdot \gamma '(t)dt=}$ ${\displaystyle =\!\int _{a}^{b}\left[u{\big (}\gamma (t){\big )}X'(t)\!-\!v{\big (}\gamma (t){\big )}Y'(t)\right]dt\!+\!i\!\int _{a}^{b}\left[u{\big (}\gamma (t){\big )}Y'(t)\!+\!v{\big (}\gamma (t){\big )}X'(t)\right]dt}$