De la misma manera en que la integral de una función positiva
de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el
área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva
de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede
interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y
el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una
función definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si
el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de
integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado
geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez
superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:
Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación y una región en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función (si es una región cerrada y acotada y está definida en ésta). Por ejemplo, si , el volumen situado entre la superficie definida por y una región en el plano es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó, está definida en .
puede dividirse en una partición interior formada por subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en . La norma de esta partición está dada por la diagonal más larga en las subregiones.
Si se toma un punto que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:
Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.
Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación y una región en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función (si es una región cerrada y acotada y está definida en ésta). Por ejemplo, si , el volumen situado entre la superficie definida por y una región en el plano es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó, está definida en .
puede dividirse en una partición interior formada por subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en . La norma de esta partición está dada por la diagonal más larga en las subregiones.
Si se toma un punto que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:
- Siestá definida en una región cerrada y acotadadel definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral desobreestá dada por:
- siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice quees integrable con respecto a T.
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