Aplicaciones de la derivada: Máximos y mínimos usando el criterio de la segunda derivada

Criterio de la primera derivada para los extremos relativos (o extremos locales):

1) Si el signo de la derivada es positivo a la izquierda del punto crítico y negativo a la derecha, entonces el punto crítico es un máximo relativo.

2) Si el signo de la derivada es negativo a la izquierda del punto crítico y positivo a la derecha, entonces el punto crítico es un mínimo relativo.

3) Si el signo de la derivada es el mismo a la izquierda y derecha del punto crítico, entonces el punto crítico no es ni máximo ni mínimo relativo.

 Ejemplos para discusión:

1. Halla los extremos relativos de la f(x) = 3x⁵ - 20x³ en el intervalo (-5,5) y construye la gráfica. 
2. Construye la gráfica de f(x) = abs(x² - 1) en una calculadora gráfica en el intervalo (-3,3) y señala cuáles son los máximos y mínimos relativos.

 Ejercicio de práctica: Halla los extremos relativos de f(x) = x³ - 3x² + 2 y construye la gráfica.
 Otros ejemplos para discusión:
 1) Sea f’ (derivada de f) la gráfica a continuación:

Observando la gráfica de f’ contesta las siguientes preguntas respecto a  f:
 a) ¿En qué intervalo f es creciente?
b) ¿En qué intervalos f es decreciente?
c) ¿Para qué valor de x la función f tiene un máximo relativo?
d) ¿Para qué valor de x la función f tiene un mínimo relativo?

2) Considera la gráfica de f’ a continuación y dibuja la gráfica de f en el mismo plano.