Integral de Linea II

Si el campo vectorial F es el gradiente de un campo escalar G (o sea, si el campo vectorial F es conservativo), esto es:

${\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} ,}$

entonces la derivada de la función composición de G y r(t) es:

${\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}$

con lo cual, evaluamos la integral de línea de esta manera:

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int _{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}$

La integral de F sobre C depende solamente de los valores en los puntos r(b) y r(a) y es independiente del camino entre a y b.
Por esta razón, un campo vectorial que es el gradiente de un campo escalar, es llamado independiente del camino o también conservativo. Cabe destacar que si tenemos un campo arbitrario; tal que, las derivadas parciales iteradas sean iguales y además sea convexo; entonces este campo es el gradiente de una función potencial φ. Y por lo mencionado anteriormente la integral de línea del campo es independiente del camino.

Integración compleja

Dada una curva en el plano complejo ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {C} }$ descrita por una parametrización

${\displaystyle \gamma :[a,b]\subseteq \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {C} ,\gamma (t)=X(t)+iY(t)}$

y una función compleja

${\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} ,f(z)=u(z)+iv(z)}$

con u, v funciones reales y continuas en Γ. Supongamos que la derivada de la función γ existe, es continua y no nula dentro del intervalo [a,b].

La integral de línea de f sobre Γ se define como 1 ${\displaystyle \int _{\Gamma }f(z)\,dz=\int _{a}^{b}f{\Big (}\gamma (t){\Big )}\cdot \gamma '(t)dt=}$ ${\displaystyle =\!\int _{a}^{b}\left[u{\big (}\gamma (t){\big )}X'(t)\!-\!v{\big (}\gamma (t){\big )}Y'(t)\right]dt\!+\!i\!\int _{a}^{b}\left[u{\big (}\gamma (t){\big )}Y'(t)\!+\!v{\big (}\gamma (t){\big )}X'(t)\right]dt}$

Integral de Linea I

Integral curvilínea de un campo escalar

Integral de línea de un campo escalar

Para f : R² → R un campo escalar, la integral sobre la curva C (también llamada, integral de trayectoria), parametrizada como r(t)=x(t)i+y(t)j con t ${\displaystyle \in }$ [a, b], está definida como:

${\displaystyle \int _{C}f\ ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\|\mathbf {r} '(t)\|\,dt=\int _{a}^{b}f(\mathbf {x} (t),\mathbf {y} (t)){\sqrt {[\mathbf {x} '(t)]^{2}+[\mathbf {y} '(t)]^{2}}}dt}$

donde: r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C. Las integrales de trayectoria son independientes de la parametrización r(t), porque solo depende de la longitud del arco, también son independientes de la dirección de la parametrización r(t).

Integral curvilínea de un campo vectorial

Para F : Rⁿ → Rⁿ un campo vectorial, la integral de línea sobre la curva C, parametrizada como r(t) con t ${\displaystyle \in }$ [a, b], está definida como:

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}$

donde ${\displaystyle \cdot }$ es el producto escalar y r: [a, b] → C es una parametrización biyectiva arbitraria de la curva C de tal manera que r(a) y r(b) son los puntos finales de C.

Las integrales de línea de un campo vectorial son independientes de la parametrización siempre y cuando las distintas parametrizaciones mantengan el sentido del recorrido de la curva. En caso de elegirse dos parametrizaciones con sentidos de recorrido contrarios, las integrales de línea del mismo campo vectorial resultarán con iguales módulos y signos contrarios.
Otra forma de visualizar esta construcción es considerar que

${\displaystyle \int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,d\mathbf {x} =\int _{C}\mathbf {F} _{1}dx^{1}+\mathbf {F} _{2}dx^{2}+\cdots +\mathbf {F} _{n}dx^{n}}$

donde se aprecia que la integral de línea es un operador que asigna un número real al par ${\displaystyle (C,\mathbf {\omega } )}$ donde

${\displaystyle \mathbf {\omega } =\mathbf {F} _{1}dx^{1}+\mathbf {F} _{2}dx^{2}+\cdots +\mathbf {F} _{n}dx^{n}}$

es una forma

Aplicaciones de la derivada: Máximos y mínimos usando el criterio de la segunda derivada II

Tema: Concavidad
Subtema: Criterio de la Segunda Derivada
 La concavidad de la gráfica de una función se refiere a dónde se curva la gráfica hacia arriba y dónde se curva hacia abajo. En la Figura 1 se observa que la gráfica se curva hacia abajo en el intervalo (-2,0) y se curva hacia arriba en el intervalo (0,5). 

 

Figura 1

Definición: Si f es una función derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces la gráfica de f es:
i) cóncava hacia arriba en (a,b) si f’ es creciente en (a,b)
ii) cóncava hacia abajo en (a,b) si f’ es decreciente en (a,b)


Ejemplos:
1)

Figura 2

 Observa que la función f(x) = x² es cóncava hacia arriba y su derivada f’(x) = 2x es creciente en el intervalo (-5,5).
 2)

Figura 3

Observa que la función f(x) = -x² es cóncava hacia abajo y su derivada f’(x) = -2x es decreciente en el intervalo (-5,5).

Teorema: Si f es una función cuya segunda derivada existe en el intervalo (a,b), entonces:
i) si f"(x)>0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).
ii) si f"(x)<0 para todo x en el intervalo (a,b), la gráfica de f es cóncava hacia abajo en (a,b).
 Ejemplos:

 1) En la Figura 2, tenemos que para f(x) = x² la segunda derivada es positiva,

esto es, f"(x) = 2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia arriba.

 2) En la Figura 3, tenemos que para f(x) = -x² la segunda derivada es negativa,

esto es, f"(x) = -2. Por tanto, la gráfica de f es cóncava hacia abajo.

 Definición: El punto de inflexión de una gráfica f es el punto donde la concavidad cambia de hacia arriba a hacia abajo (o viceversa).

 Observa que en Figura 1, la gráfica tiene un cambio de concavidad en el punto (0,0). A la izquierda de este punto la gráfica es cóncava hacia abajo y a la derecha de este punto la gráfica es cóncava hacia arriba. Por tanto, (0,0) es un punto de inflexión.

Nota: Como el punto de inflexión se presenta donde cambia la concavidad de la gráfica, también es cierto que el signo de la segunda derivada (f") cambia es estos puntos. De manera que, para localizar los puntos de inflexión, calculamos los valores de x para los que f"(x) = 0 ó para los que f"(x) no existe.

Aplicaciones de la derivada: Máximos y mínimos usando el criterio de la segunda derivada

Criterio de la primera derivada para los extremos relativos (o extremos locales):

1) Si el signo de la derivada es positivo a la izquierda del punto crítico y negativo a la derecha, entonces el punto crítico es un máximo relativo.

2) Si el signo de la derivada es negativo a la izquierda del punto crítico y positivo a la derecha, entonces el punto crítico es un mínimo relativo.

3) Si el signo de la derivada es el mismo a la izquierda y derecha del punto crítico, entonces el punto crítico no es ni máximo ni mínimo relativo.

 Ejemplos para discusión:

1. Halla los extremos relativos de la f(x) = 3x⁵ - 20x³ en el intervalo (-5,5) y construye la gráfica. 
2. Construye la gráfica de f(x) = abs(x² - 1) en una calculadora gráfica en el intervalo (-3,3) y señala cuáles son los máximos y mínimos relativos.

 Ejercicio de práctica: Halla los extremos relativos de f(x) = x³ - 3x² + 2 y construye la gráfica.
 Otros ejemplos para discusión:
 1) Sea f’ (derivada de f) la gráfica a continuación:

Observando la gráfica de f’ contesta las siguientes preguntas respecto a  f:
 a) ¿En qué intervalo f es creciente?
b) ¿En qué intervalos f es decreciente?
c) ¿Para qué valor de x la función f tiene un máximo relativo?
d) ¿Para qué valor de x la función f tiene un mínimo relativo?

2) Considera la gráfica de f’ a continuación y dibuja la gráfica de f en el mismo plano.