Límites y Continuidad II

D) INDETERMINACIÓN
En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador.
Ejemplos.-

E) INDETERMINACIONES - -
Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:
de donde resulta que: pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores. En el caso de la indeterminación podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente igualdad:
Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:
F) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS.
En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:
Aplica lo anterior para resolver los siguientes límites:

    (Usa la fórmula del sen(x/2))

En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes aplicando la Regla de L'Hôpital.

4. Función continua en un punto y en un intervalo.

Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si:

1. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a.
2. Existe el .
3. Ambos valores coinciden, es decir .

Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente:
Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b).
Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si .
Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si .
Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si:

1. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b).
2. y = f(x) es continua por la derecha en x=a.
3. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b.

TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el . (La demostración es inmediata)
Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:
TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO
Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 existe un entorno de x=a en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).
Demostración:
Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar).
Tomemos . Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:

Es decir:
Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar)