Derivada 2

En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Las derivada laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.

No es derivable en x = 0.

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

La función es continua en toda .

f'(−2)⁻ = −1f'(−2)⁺ = 1

No será derivable en: x= -2.

En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.

Derivada

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

Un ejemplo habitual aparece al estudiar el movimiento: si una función representa la posición de un objeto con respecto al tiempo, su derivada es la velocidad de dicho objeto. Un avión que realice un vuelo transatlántico de 4500 km entre las 12:00 y las 18:00, viaja a una velocidad media de 750 km/h. Sin embargo, puede estar viajando a velocidades mayores o menores en distintos tramos de la ruta. En particular, si entre las 15:00 y las 15:30 recorre 400 km, su velocidad media en ese tramo es de 800 km/h. Para conocer su velocidad instantánea a las 15:20, por ejemplo, es necesario calcular la velocidad media en intervalos de tiempo cada vez menores alrededor de esta hora: entre las 15:15 y las 15:25, entre las 15:19 y las 15:21, etc.

El diferencial de campos vectoriales II

Dibujar el campo de velocidades y las líneas de corriente del flujo plano asociado con la función de variable compleja
f(z)=z¯2
Las líneas de corriente satisfacen al sistema de ecuaciones diferenciales
P(x,y)=x2−y2 Q(x,y)=−2xy{dxdt=x2−y2dydt=−2xy
Tenemos una ecuación diferencial exacta M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, cuya solución es F(x,y) tal que
∂F∂x=M(x,y) ∂F∂y=N(x,y)
La solución se calcula del siguiente modo. (véase Ecuaciones diferenciales exactas)
2xy⋅dx+(x2−y2)dy=0∂(x2−y2)∂x=∂(2xy)∂yF(x,y)=∫2xy⋅dx+g(y)F(x,y)=x2y+g(y)∂F∂y=x2+dgdy=x2−y2dgdy=−y2g=−13y3F(x,y)=x2y−13y3
Las líneas de corriente del flujo plano asociado con el campo de velocidades f(z)=conj(z)² es

El diferencial de campos vectoriales

Supongamos que f(z)=P(x,y)+iQ(x,y) representa el campo de velocidades de un fluido. f(z) especifica el vector velocidad de una partícula situada en el punto z del plano. Si z(t)=x(t)+iy(t) es la trayectoria que sigue la partícula entonces se cumple que
dxdt=P(x,y)dydt=Q(x,y)
Resolviendo este sistema de dos ecuaciones diferenciales de primer orden obtenemos las líneas de corriente del fluido asocidas al campo vectorial de velocidades descrito por la función de variable compleja f(z). Por ejemplo, sea f(z)=conj(z)
f(z)=z¯=x−iy {dxdt=xdydt=−yx(t)=c1exp(t)y(t)=c2exp(−t)x⋅y=c1⋅c2=c
Las partículas se mueven siguiendo trayectorias que son hipérbolas x·y=c.

Derivada de Campos Escalares. Definición, Propiedades

En matemáticas, un campo vectorial representa la distribución espacial de una magnitud vectorial. Es una expresión de cálculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio euclidiano, de la forma ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$.
Los campos vectoriales se utilizan en física, por ejemplo, para representar la velocidad y la dirección de un fluido en el espacio, o la intensidad y la dirección de fuerzas como la gravitatoria o la fuerza electromagnética.
Como expresión matemática rigurosa, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad. Este es el tipo de tratamiento necesario para modelizar el espacio-tiempo curvo de la teoría general de la relatividad por ejemplo.

Derivación y potenciales escalares y vectores

Los campos vectoriales se deben comparar a los campos escalares, que asocian un número o escalar a cada punto en el espacio (o a cada punto de alguna variedad).
Las derivadas de un campo vectorial, que dan por resultado un campo escalar u otro campo vectorial, se llaman divergencia y rotor respectivamente. Recíprocamente:

• Dado un campo vectorial cuyo rotacional se anula en un punto , existe un campo potencial escalar cuyo gradiente coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.
• Dado un campo vectorial solenoidal cuya divergencia se anula en un punto, existe un campo vectorial llamado potencial vector cuyo rotacional coincide con el campo escalar en un entorno de ese punto.

Estas propiedades derivan del teorema de Poincaré.