Teorema de divergencia

Sean ${\displaystyle H\,}$ y ${\displaystyle U\,}$dos subconjuntos abiertos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ donde ${\displaystyle U\subset H}$ es simplemente conexo y el borde de ${\displaystyle U\,}$, ${\displaystyle S=\partial U\,}$ es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.
Sea ${\displaystyle \mathbf {F} :H\to \mathbb {R} ^{3}}$, un campo vectorial de clase ${\displaystyle C^{1}\,}$, es decir, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.
Entonces:

${\displaystyle \iint _{S}{\mathbf {F} \cdot {\vec {\mathbf {n} }}\,dS}=\iiint _{U}{\nabla \cdot \mathbf {F} \;dV}}$

donde el vector ${\displaystyle {\vec {\mathbf {n} }}\,}$ normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen ${\displaystyle V\,}$.
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctrico con otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones de Maxwell.

Ejemplo de aplicación

Esfera de radio 2.

Calcular el flujo del campo vectorial ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }$ a través de la superficie esférica ${\displaystyle x^{\,\!2}+y^{\,\!2}+z^{\,\!2}=4}$
Resolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es ${\displaystyle R\,=2}$. Entonces:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial f_{1}\;}{\partial x\;}}+{\frac {\partial f_{2}\;}{\partial y\;}}+{\frac {\partial f_{3}\;}{\partial z\;}}=1+1+1=3}$

Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ dS=\iiint _{V}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} \ dV=\iiint _{V}3\,\ dV=3\,\iiint _{V}\ dV=3V=3\times {\frac {4}{3}}\pi \times 2^{3}=32\,\pi }$