Integrales Multiples II

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx}$

se refiere a una integral iterada, la parte externa

${\displaystyle \int _{a}^{b}\cdots \,dx}$

es la integral con respecto a x de la función de x:

${\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy.}$

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy.}$

De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

${\displaystyle \int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,}$

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.

${\displaystyle \int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

Esto ocurre, cuando ${\displaystyle f}$ es una función acotada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.
La notación

${\displaystyle \int _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dx\,dy}$

se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.