Aplicaciones de integrales de superficie

Se define la integral de superficie como:
Sea ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} }$ una función continua definida en la superficie ${\displaystyle S}$ cuya parametrización está dada por ${\displaystyle {\vec {r}}(u,v)=x(u,v){\hat {i}}+y(u,v){\hat {j}}+z(u,v){\hat {k}}}$. Si la superficie ${\displaystyle S}$ tiene como dominio la región ${\displaystyle T}$ en el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

${\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)\,dS=\iint _{T}f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\,\|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\|\,du\,dv}$

en donde ${\displaystyle {\vec {r}}_{u},{\vec {r}}_{v}}$ son las derivadas parciales de la función vectorial que define a S, respecto a las variables u y v.
La razón de esta definición proviene del hecho de que una integral doble "clásica" de una función f(x,y)puede definirse subdividiendo la región de integración T en pequeños rectángulos cuyos lados fueran de medidas dx y dy y efectuando la sumatoria de los productos f(x,y)·dx·dy en que el punto (x,y) se halla en el interior del rectángulo correspondiente. Como puede observarse, dx·dy es el área de cada uno de esos rectángulos, por lo que habitualmente este producto se denota por dA.
Al extender este proceso a una superficie tridimensional, ésta se divide en pequeños sectores de área dS en los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evalúa la sumatoria de los productos f(x,y,z)·dS. El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del paralelógramo formado por sus vectores tangentes ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}du,{\vec {r}}_{v}dv}$ de longitud infinitesimal, y, por la definición de producto cruz, el vector ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}$ es un vector perpendicular a ambos vectores cuya norma es igual al área de dicho paralelógramo, por lo tanto, ${\displaystyle dS=\|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\|du\,dv}$. Al valor dS lo llamamos elemento escalar de área.²

Integral de superficie de un campo vectorial

Definimos la integral de superficie de un campo vectorial ${\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)}$ bajo condiciones similares al caso anterior, de la siguiente forma:³

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot d\mathbf {S} =\iint _{T}\mathbf {F} [x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\cdot \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\,du\,dv}$

Las componentes del vector ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}$ pueden escribirse como determinantes jacobianos de la siguiente forma:⁴

${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}={\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {k}} }$

Por lo tanto, si ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$, la integral de superficie puede escribirse como:

${\displaystyle \iint _{S}F_{x}\,dy\,dz+F_{y}\,dz\,dx+F_{z}\,dx\,dy=\iint _{T}F_{x}{\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}+F_{y}{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}+F_{z}{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\,du\,dv}$

Esta notación es fácilmente sugerida por el teorema del cambio de variable para integrales dobles. Sin embargo, nótese que en dicha notación el orden de los símbolos dx, dy o dz es importante, ya que ${\displaystyle {\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}=-{\frac {\partial (z,y)}{\partial (u,v)}}}$,⁵ por lo que, por ejemplo:

${\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)dy\,dz=-\iint _{S}f(x,y,z)dz\,dy}$