De la misma manera en que la integral de una función positiva
de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el
área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la
doble integral de una función positiva
de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede
interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y
el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una
función
definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si
el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de
integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado
geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez
superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración
en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es
el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales
en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre
cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el
signo de integral de más a la derecha:
Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples
indefinidas no existen.
Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación
geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación
y una región
en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función
(si
es una región cerrada y acotada y
está definida en ésta). Por ejemplo, si
, el volumen situado entre la superficie definida por
y una región
en el plano
es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó,
está definida en
.
puede dividirse en una partición interior
formada por
subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en
. La norma
de esta partición está dada por la diagonal más larga en las
subregiones.
Si se toma un punto
que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones
para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir
un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto
definido por
y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:
Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación
y la región
mediante la
suma de Riemann de las magnitudes de los
espacios correspondientes a cada una de las subregiones:
Esta
aproximación mejora a medida que el número
de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la
magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones
disminuirá la norma de la partición:
El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo
existe un
tal que
para toda partición
de la región
(que satisfaga
), y para todas las elecciones posibles de
en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:
- Siestá definida en una región cerrada y acotadadel definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral desobreestá dada por:
- siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice quees integrable con respecto a T.