Aplicaciones de integrales de superficie

Se define la integral de superficie como:
Sea ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} }$ una función continua definida en la superficie ${\displaystyle S}$ cuya parametrización está dada por ${\displaystyle {\vec {r}}(u,v)=x(u,v){\hat {i}}+y(u,v){\hat {j}}+z(u,v){\hat {k}}}$. Si la superficie ${\displaystyle S}$ tiene como dominio la región ${\displaystyle T}$ en el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

${\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)\,dS=\iint _{T}f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\,\|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\|\,du\,dv}$

en donde ${\displaystyle {\vec {r}}_{u},{\vec {r}}_{v}}$ son las derivadas parciales de la función vectorial que define a S, respecto a las variables u y v.
La razón de esta definición proviene del hecho de que una integral doble "clásica" de una función f(x,y)puede definirse subdividiendo la región de integración T en pequeños rectángulos cuyos lados fueran de medidas dx y dy y efectuando la sumatoria de los productos f(x,y)·dx·dy en que el punto (x,y) se halla en el interior del rectángulo correspondiente. Como puede observarse, dx·dy es el área de cada uno de esos rectángulos, por lo que habitualmente este producto se denota por dA.
Al extender este proceso a una superficie tridimensional, ésta se divide en pequeños sectores de área dS en los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evalúa la sumatoria de los productos f(x,y,z)·dS. El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del paralelógramo formado por sus vectores tangentes ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}du,{\vec {r}}_{v}dv}$ de longitud infinitesimal, y, por la definición de producto cruz, el vector ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}$ es un vector perpendicular a ambos vectores cuya norma es igual al área de dicho paralelógramo, por lo tanto, ${\displaystyle dS=\|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\|du\,dv}$. Al valor dS lo llamamos elemento escalar de área.²

Integral de superficie de un campo vectorial

Definimos la integral de superficie de un campo vectorial ${\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)}$ bajo condiciones similares al caso anterior, de la siguiente forma:³

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot d\mathbf {S} =\iint _{T}\mathbf {F} [x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\cdot \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\,du\,dv}$

Las componentes del vector ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}$ pueden escribirse como determinantes jacobianos de la siguiente forma:⁴

${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}={\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {k}} }$

Por lo tanto, si ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$, la integral de superficie puede escribirse como:

${\displaystyle \iint _{S}F_{x}\,dy\,dz+F_{y}\,dz\,dx+F_{z}\,dx\,dy=\iint _{T}F_{x}{\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}+F_{y}{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}+F_{z}{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\,du\,dv}$

Esta notación es fácilmente sugerida por el teorema del cambio de variable para integrales dobles. Sin embargo, nótese que en dicha notación el orden de los símbolos dx, dy o dz es importante, ya que ${\displaystyle {\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}=-{\frac {\partial (z,y)}{\partial (u,v)}}}$,⁵ por lo que, por ejemplo:

${\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)dy\,dz=-\iint _{S}f(x,y,z)dz\,dy}$

Teorema de divergencia

Sean ${\displaystyle H\,}$ y ${\displaystyle U\,}$dos subconjuntos abiertos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ donde ${\displaystyle U\subset H}$ es simplemente conexo y el borde de ${\displaystyle U\,}$, ${\displaystyle S=\partial U\,}$ es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.
Sea ${\displaystyle \mathbf {F} :H\to \mathbb {R} ^{3}}$, un campo vectorial de clase ${\displaystyle C^{1}\,}$, es decir, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.
Entonces:

${\displaystyle \iint _{S}{\mathbf {F} \cdot {\vec {\mathbf {n} }}\,dS}=\iiint _{U}{\nabla \cdot \mathbf {F} \;dV}}$

donde el vector ${\displaystyle {\vec {\mathbf {n} }}\,}$ normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen ${\displaystyle V\,}$.
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctrico con otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones de Maxwell.

Ejemplo de aplicación

Esfera de radio 2.

Calcular el flujo del campo vectorial ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }$ a través de la superficie esférica ${\displaystyle x^{\,\!2}+y^{\,\!2}+z^{\,\!2}=4}$
Resolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es ${\displaystyle R\,=2}$. Entonces:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial f_{1}\;}{\partial x\;}}+{\frac {\partial f_{2}\;}{\partial y\;}}+{\frac {\partial f_{3}\;}{\partial z\;}}=1+1+1=3}$

Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ dS=\iiint _{V}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} \ dV=\iiint _{V}3\,\ dV=3\,\iiint _{V}\ dV=3V=3\times {\frac {4}{3}}\pi \times 2^{3}=32\,\pi }$

Integrales Multiples II

Las integrales múltiples están estrechamente relacionadas con las integrales iteradas, mismas que son necesarias para resolver las integrales múltiples. La diferencia entre integrales múltiples e iteradas consiste en que una se refiere al concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) y otra al procedimiento por el cual se resuelve la integral múltiple. Si la expresión

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx}$

se refiere a una integral iterada, la parte externa

${\displaystyle \int _{a}^{b}\cdots \,dx}$

es la integral con respecto a x de la función de x:

${\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy.}$

Una integral doble, en cambio está definida con respecto a un área en el plano xy. La integral doble existe si y sólo si las dos integrales iteradas existen y son iguales. Es decir, si la integral doble existe, entonces es igual a la integral iterada, sin importar si el orden de integración es dydx ó dxdy, y por lo general uno la calcula calculando una sola de estas. Sin embargo, a veces las dos integrales iteradas existen sin ser iguales y en este caso no existe la integral doble, ya que se tiene:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy.}$

De una manera más formal, el Teorema de Fubini afirma que

${\displaystyle \int _{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,}$

Esto es, si la integral es absolutamente convergente, entonces la integral doble es igual a la integral iterada.

${\displaystyle \int _{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int _{B}\left(\int _{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.}$

Esto ocurre, cuando ${\displaystyle f}$ es una función acotada y tanto A como B son regiones acotadas también. Esto se entiende fácilmente pensando que si la función o la región del dominio no están acotadas, la integral múltiple no puede existir.
La notación

${\displaystyle \int _{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dx\,dy}$

se puede usar si se desea ser enfático al referirse a una integral doble y no a una iterada.

Integrales Multiples I

De la misma manera en que la integral de una función positiva ${\displaystyle f(x)}$ de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva ${\displaystyle f(x,y)}$ de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función ${\displaystyle f(x,y,z)}$ definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si ${\displaystyle f(x,y,z)=1}$ el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.
La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

${\displaystyle \iint \ldots \int _{\mathbf {D} }\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\;\mathbf {d} x_{1}\mathbf {d} x_{2}\!\ldots \mathbf {d} x_{n}}$

Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

Una forma relativamente sencilla de definir las integrales múltiples es mediante su representación geométrica como la magnitud del espacio entre el objeto definido por la ecuación ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})}$ y una región ${\displaystyle T}$ en el espacio definido por los ejes de las variables independientes de la función ${\displaystyle f}$ (si ${\displaystyle T}$ es una región cerrada y acotada y ${\displaystyle f}$ está definida en ésta). Por ejemplo, si ${\displaystyle n=2}$, el volumen situado entre la superficie definida por ${\displaystyle x_{3}=f(x_{1},x_{2})}$ y una región ${\displaystyle T}$ en el plano ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ es igual a alguna integral doble, si es que, como se mencionó, ${\displaystyle f}$ está definida en ${\displaystyle T}$.
${\displaystyle T}$ puede dividirse en una partición interior ${\displaystyle \Delta }$ formada por ${\displaystyle m}$ subregiones rectangulares sin solapamiento que estén completamente contenidas en ${\displaystyle T}$. La norma ${\displaystyle ||\Delta ||}$ de esta partición está dada por la diagonal más larga en las ${\displaystyle m}$ subregiones.
Si se toma un punto ${\displaystyle (x_{1i},x_{2i},...,x_{ni})}$ que esté contenido dentro de la subregión con dimensiones ${\displaystyle \Delta x_{1i}\Delta x_{2i}...\Delta x_{ni}}$ para cada una de las m subregiones de la partición, se puede construir un espacio con una magnitud aproximada a la del espacio entre el objeto definido por ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})}$ y la subregión i. Este espacio tendrá una magnitud de:

${\displaystyle f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta A_{i}=f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}}$

Entonces se puede aproximar la magnitud del espacio entero situado entre el objeto definido por la ecuación ${\displaystyle x_{n+1}=f(x_{1},...,x_{n})}$ y la región${\displaystyle T}$mediante la suma de Riemann de las magnitudes de los ${\displaystyle m}$ espacios correspondientes a cada una de las subregiones:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}}$

Esta aproximación mejora a medida que el número ${\displaystyle m}$ de subregiones se hace mayor. Esto sugiere que se podría obtener la magnitud exacta tomando el límite. Al aumentar el número de subregiones disminuirá la norma de la partición:

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}}$

El significado riguroso de éste último límite es que el límite es igual L si y sólo si para todo ${\displaystyle \varepsilon >0}$ existe un ${\displaystyle \delta >0}$ tal que

${\displaystyle \left|L-\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}\right\vert <\varepsilon }$

para toda partición ${\displaystyle \Delta }$ de la región${\displaystyle T}$(que satisfaga ${\displaystyle ||\Delta ||<\delta }$), y para todas las elecciones posibles de ${\displaystyle (x_{1i},x_{2i},...,x_{ni})}$ en la iésima subregión. Esto conduce a la definición formal de una integral múltiple:

Si${\displaystyle f}$está definida en una región cerrada y acotada${\displaystyle T}$del definido por los ejes de las variables independientes de f, la integral de${\displaystyle f}$sobre${\displaystyle T}$está dada por:

${\displaystyle \iint \ldots \int _{T}\,f(x_{1},\ldots ,x_{n})dx_{1}\ldots \,dx_{n}=\lim _{\|\Delta \|\to 0}\sum _{i=1}^{m}f(x_{1i},x_{2i},\ldots ,x_{ni})\Delta x_{1i}\Delta x_{2i}\ldots \Delta x_{ni}}$

siempre que el límite exista. Si el límite existe se dice que${\displaystyle f}$es integrable con respecto a T.