Aplicaciones de integrales de superficie

Se define la integral de superficie como:
Sea ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} }$ una función continua definida en la superficie ${\displaystyle S}$ cuya parametrización está dada por ${\displaystyle {\vec {r}}(u,v)=x(u,v){\hat {i}}+y(u,v){\hat {j}}+z(u,v){\hat {k}}}$. Si la superficie ${\displaystyle S}$ tiene como dominio la región ${\displaystyle T}$ en el plano uv, entonces establecemos la equivalencia:

${\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)\,dS=\iint _{T}f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\,\|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\|\,du\,dv}$

en donde ${\displaystyle {\vec {r}}_{u},{\vec {r}}_{v}}$ son las derivadas parciales de la función vectorial que define a S, respecto a las variables u y v.
La razón de esta definición proviene del hecho de que una integral doble "clásica" de una función f(x,y)puede definirse subdividiendo la región de integración T en pequeños rectángulos cuyos lados fueran de medidas dx y dy y efectuando la sumatoria de los productos f(x,y)·dx·dy en que el punto (x,y) se halla en el interior del rectángulo correspondiente. Como puede observarse, dx·dy es el área de cada uno de esos rectángulos, por lo que habitualmente este producto se denota por dA.
Al extender este proceso a una superficie tridimensional, ésta se divide en pequeños sectores de área dS en los cuales se escoge un punto (x,y,z) y se evalúa la sumatoria de los productos f(x,y,z)·dS. El área de estos sectores es aproximadamente igual al área del paralelógramo formado por sus vectores tangentes ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}du,{\vec {r}}_{v}dv}$ de longitud infinitesimal, y, por la definición de producto cruz, el vector ${\displaystyle {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}}$ es un vector perpendicular a ambos vectores cuya norma es igual al área de dicho paralelógramo, por lo tanto, ${\displaystyle dS=\|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\|du\,dv}$. Al valor dS lo llamamos elemento escalar de área.²

Integral de superficie de un campo vectorial

Definimos la integral de superficie de un campo vectorial ${\displaystyle {\vec {F}}(x,y,z)}$ bajo condiciones similares al caso anterior, de la siguiente forma:³

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} (x,y,z)\cdot d\mathbf {S} =\iint _{T}\mathbf {F} [x(u,v),y(u,v),z(u,v)]\cdot \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}\,du\,dv}$

Las componentes del vector ${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}$ pueden escribirse como determinantes jacobianos de la siguiente forma:⁴

${\displaystyle \mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}={\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {i}} +{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {j}} +{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\mathbf {\hat {k}} }$

Por lo tanto, si ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$, la integral de superficie puede escribirse como:

${\displaystyle \iint _{S}F_{x}\,dy\,dz+F_{y}\,dz\,dx+F_{z}\,dx\,dy=\iint _{T}F_{x}{\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}+F_{y}{\frac {\partial (z,x)}{\partial (u,v)}}+F_{z}{\frac {\partial (x,y)}{\partial (u,v)}}\,du\,dv}$

Esta notación es fácilmente sugerida por el teorema del cambio de variable para integrales dobles. Sin embargo, nótese que en dicha notación el orden de los símbolos dx, dy o dz es importante, ya que ${\displaystyle {\frac {\partial (y,z)}{\partial (u,v)}}=-{\frac {\partial (z,y)}{\partial (u,v)}}}$,⁵ por lo que, por ejemplo:

${\displaystyle \iint _{S}f(x,y,z)dy\,dz=-\iint _{S}f(x,y,z)dz\,dy}$

Teorema de divergencia

Sean ${\displaystyle H\,}$ y ${\displaystyle U\,}$dos subconjuntos abiertos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ donde ${\displaystyle U\subset H}$ es simplemente conexo y el borde de ${\displaystyle U\,}$, ${\displaystyle S=\partial U\,}$ es una superficie regular o regular a trozos y cerrada.
Sea ${\displaystyle \mathbf {F} :H\to \mathbb {R} ^{3}}$, un campo vectorial de clase ${\displaystyle C^{1}\,}$, es decir, ${\displaystyle \mathbf {F} }$ cuenta con derivadas parciales de primer orden continuas.
Entonces:

${\displaystyle \iint _{S}{\mathbf {F} \cdot {\vec {\mathbf {n} }}\,dS}=\iiint _{U}{\nabla \cdot \mathbf {F} \;dV}}$

donde el vector ${\displaystyle {\vec {\mathbf {n} }}\,}$ normal a la superficie apunta hacia el exterior del volumen ${\displaystyle V\,}$.
Este resultado es una consecuencia natural del Teorema de Stokes, el cual generaliza el Teorema fundamental del cálculo. El teorema fue enunciado por el matemático alemán Carl Friedrich Gauss en 1835, pero no fue publicado hasta 1867. Debido a la similitud matemática que tiene el campo eléctrico con otras leyes físicas, el teorema de Gauss puede utilizarse en diferentes problemas de física gobernados por leyes inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia, como la gravitación o la intensidad de la radiación. Este teorema recibe el nombre de ley de Gauss y constituye también la primera de las ecuaciones de Maxwell.

Ejemplo de aplicación

Esfera de radio 2.

Calcular el flujo del campo vectorial ${\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }$ a través de la superficie esférica ${\displaystyle x^{\,\!2}+y^{\,\!2}+z^{\,\!2}=4}$
Resolución. A partir de la ecuación de la esfera se sabe que el radio es ${\displaystyle R\,=2}$. Entonces:

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} ={\frac {\partial f_{1}\;}{\partial x\;}}+{\frac {\partial f_{2}\;}{\partial y\;}}+{\frac {\partial f_{3}\;}{\partial z\;}}=1+1+1=3}$

Aplicando el teorema de la divergencia tenemos:

${\displaystyle \iint _{S}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \ dS=\iiint _{V}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {F} \ dV=\iiint _{V}3\,\ dV=3\,\iiint _{V}\ dV=3V=3\times {\frac {4}{3}}\pi \times 2^{3}=32\,\pi }$